Dans le bol de votre robot, ajoutez le lait, l'oeuf, le sucre, le sel, la farine et dessus la levure émiettée.
Lancez le pétrissage de votre robot à vitesse lente, jusqu'à ce qu'une boule se forme, soit environ 5 minutes.
Ajoutez ensuite le beurre coupé en morceaux petit à petit, en continuant de pétrir. Continuez jusqu'à ce que le beurre soit bien incorporé.
Une fois le beurre incorporé, pétrissez 5-7 minutes supplémentaires jusqu'à ce qu'une boule se forme et se décolle de la paroi de votre bol (si ce n'est pas le cas, continuez à pétrir).
Laissez la pâte lever dans le bol recouvert d'un torchon humide ou d'un film plastique, à l'abri des courants d'air, idéalement autour de 25-28°C (certains fours ont une fonction dédiée), pendant 45 min – 1h.
Une fois ces 45 minutes écoulées, couvrez le bol d'un film et placez le tout au frigo. Laissez pousser minimum 1h30 supplémentaire (vous pouvez laisser pousser toute une nuit). Le froid n'empêchera pas la pâte de pousser (au contraire), et permettra ensuite de la travailler plus facilement.
Epluchez les pommes et coupez les en petits cubes.
Faites chauffer une casserole à feu moyen-vif avec le beurre et le sucre. Quand le tout est fondu et sommence à caraméliser (après 2-3 minutes), ajoutez les pommes.
Faites revenir les pommes en mélangeant régulièrement, et jusqu'à ce qu'elles soient tendres et que le caramel ait bien réduit (environ 8-10 minutes).
Versez dans un bol et laissez refroidir au frigo pendant environ 10-15 minutes.
Quand la pousse est terminée, dégazez avec votre poing.
Farinez votre plan de travail, et étalez votre pâte en un rectangle d'environ 40×30 cm.
Ajoutez les pommes sur toute votre pâte (en laissant environ 2 cm sur les bords).
Roulez ensuite votre pâte, dans le sens de la longueur, assez serrée.
Coupez ensuite en 2 dans le sens de la longueur.
Torsadez ensuite ensemble les 2 morceaux. Soudez bien les extrémités.
Placez votre babka dans un moule beurré ou sur une plaque de cuisson recouverte de papier sulfurisé.
Laissez poussez environ 45 min -1h toujours entre 25-28°C.
Préchauffez le four à 160°C.
Mélangez le jaune d'oeuf avec une cuillère à soupe d'eau dans un petit bol.
Dorez votre babka avec.
Faites-la cuire au four environ 25-30 min (plutôt en bas du four).
Laissez tiédir 10 minutes et dégustez!